משוואות של נגזרת: פירוק לגורמים וזהויותחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 12
חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571
שיעור 12 – משוואות של נגזרת: פירוק לגורמים וזהויות
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2הסבר – איך פותרים משוואה של נגזרת
3סעיף א – מכפלה ששווה 0
4סעיף ב – גורם משותף
5סעיף ג – סינוס של זווית כפולה
6סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס
7סעיף ה – טנגנס
8סעיף ו – קוסינוס של זווית כפולה
📄 נוסח השאלה
המשוואות הבאות התקבלו מהשוואת נגזרת ל־0 בשאלות חקירה. פתרו כל משוואה בתחום הנתון.
א. sin x(2cos x − 1) = 0 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π
ב. 2sin2x − sin x = 0 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π
ג. sin 2x = cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π
ד. cos 2x = cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. 1 − tan x = 0 בתחום −π ≤ x ≤ π
ו. cos2x − sin2x = 0 בתחום 0 ≤ x ≤ π
הסבר – איך פותרים משוואה של נגזרת
כשמשווים נגזרת ל־0, לרוב מקבלים משוואה שאינה פשוטה. המטרה: להגיע לכמה משוואות פשוטות כמו sin x = a או cos x = a , ולפתור כל אחת בתחום.
1. גורם משותף. מעבירים הכול לצד אחד, מוציאים גורם משותף, ומשווים כל גורם ל־0:
המכפלה שווה 0 רק אם אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0
לא מחלקים ב־sin x או ב־cos x – כך מאבדים את הפתרונות שבהם הם שווים 0. מוציאים גורם משותף במקום זה.
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
הסבר – איך פותרים משוואה של נגזרת · המשך
לא מחלקים ב־sin x או ב־cos x – כך מאבדים את הפתרונות שבהם הם שווים 0. מוציאים גורם משותף במקום זה.
2. זוויות שונות. אם במשוואה יש גם 2x וגם x , משתמשים בזהות של זווית כפולה כדי שכל האיברים יהיו עם אותה זווית x :
לפתיחת סינוס של זווית כפולה:
📐 סינוס של זווית כפולה
לפתיחת קוסינוס של זווית כפולה:
📐 קוסינוס של זווית כפולה
3. משוואה ריבועית. אם מקבלים cos2x וגם cos x , זו משוואה ריבועית שהנעלם בה הוא cos x . פותרים אותה בנוסחת השורשים.
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
= 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x
סעיף א – מכפלה ששווה 0
המשוואה כבר בצורת מכפלה ששווה 0, ולכן כל גורם שווה 0:
sin x = 0
📐 מכפלה שווה 0
2cos x − 1 = 0
הגורם הראשון: sin 0 = 0 , ולפי הנוסחה:
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π + 2πk
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – מכפלה ששווה 0 · המשך
x = π + 2πk
מהמשפחה הראשונה k = 0 ו־k = 1 נותנים x = 0 ו־x = 2π . מהשנייה k = 0 נותן x = π . כלומר בתחום:
x = 0 , x = π , x = 2π
הגורם השני:
2cos x = 1
cos x = 12
סעיף א – מכפלה ששווה 0 · המשך
cos x = 12
cos π3 = 12
📐 ערך מיוחד
x = π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π3 + 2πk
עבור k = 0 מקבלים x = π3 . עבור k = 1 במשפחה השנייה:
x = −π3 + 2π = 5π3
📐 ערך מיוחד
cos π3 = 12
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – מכפלה ששווה 0 · המשך
x = −π3 + 2π = 5π3
✅ פתרון סופי: x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π
סעיף ב – גורם משותף
בשני האיברים יש sin x – נוציא אותו כגורם משותף:
sin x(2sin x − 1) = 0
sin x = 0
📐 מכפלה שווה 0
2sin x − 1 = 0
הגורם הראשון: כמו בסעיף א, sin x = 0 נותן בתחום:
x = 0 , x = π , x = 2π
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב – גורם משותף · המשך
x = 0 , x = π , x = 2π
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
הגורם השני:
sin x = 12
sin π6 = 12
📐 ערך מיוחד
x = π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
📐 ערך מיוחד
sin π6 = 12
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב – גורם משותף · המשך
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
עבור k = 0 :
x = π6 , x = 5π6
✅ פתרון סופי: x = 0 , π6 , 5π6 , π , 2π
סעיף ג – סינוס של זווית כפולה
במשוואה יש זווית 2x וזווית x . כדי שתהיה רק זווית אחת, נפתח את sin 2x לפי הזהות:
2sin x · cos x = cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
לא מחלקים ב־cos x . מעבירים הכול לצד אחד:
2sin x · cos x − cos x = 0
מוציאים גורם משותף cos x :
cos x(2sin x − 1) = 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ג – סינוס של זווית כפולה · המשך
cos x(2sin x − 1) = 0
cos x = 0
📐 מכפלה שווה 0
2sin x − 1 = 0
הגורם הראשון:
cos π2 = 0
📐 ערך מיוחד
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ג – סינוס של זווית כפולה · המשך
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π2 + 2πk
עבור k = 0 מקבלים x = π2 , ובמשפחה השנייה עבור k = 1 :
x = −π2 + 2π = 3π2
הגורם השני: sin x = 12 , ופתרנו אותו בסעיף ב:
x = π6 , x = 5π6
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ג – סינוס של זווית כפולה · המשך
x = π6 , x = 5π6
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
✅ פתרון סופי: x = π6 , π2 , 5π6 , 3π2
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס
גם כאן יש 2x ו־x . נפתח את cos 2x בצורה שיש בה רק קוסינוס, כי באגף ימין יש cos x :
2cos2x − 1 = cos x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
מעבירים הכול לצד אחד:
2cos2x − cos x − 1 = 0
זו משוואה ריבועית שהנעלם בה הוא cos x , עם a = 2 , b = −1 , c = −1 . נפתור בנוסחת השורשים:
הנעלם כאן הוא cos x במקום x .
📐 נוסחת השורשים
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = 2cos2x − 1
📐 נוסחת השורשים
x = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס · המשך
הנעלם כאן הוא cos x במקום x .
📐 נוסחת השורשים
קודם נחשב את הביטוי שבתוך השורש. נכתוב אותו ונסמן את המקדמים:
b2 − 4ac
נציב a = 2 , b = −1 , c = −1 :
(−1)2 − 4 · 2 · (−1) = 1 + 8 = 9
עכשיו כל הנוסחה. נכתוב אותה ונסמן את מה שנציב:
📐 נוסחת השורשים
x = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס · המשך
עכשיו כל הנוסחה. נכתוב אותה ונסמן את מה שנציב:
cos x = −b ± √92a
נציב b = −1 , a = 2 :
cos x = −(−1) ± 32 · 2 = 1 ± 34
cos x = 1
cos x = −12
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס · המשך
cos x = −12
הפתרון הראשון: cos 0 = 1 , ולכן:
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
עבור k = 0 ו־k = 1 :
x = 0 , x = 2π
הפתרון השני: הזווית שהקוסינוס שלה −12 היא 2π3 :
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס · המשך
הפתרון השני: הזווית שהקוסינוס שלה −12 היא 2π3 :
cos 2π3 = −cos π3 = −12
📐 זוויות שסכומן π
x = 2π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −2π3 + 2πk
עבור k = 0 מקבלים 2π3 , ובמשפחה השנייה עבור k = 1 :
x = −2π3 + 2π = 4π3
📐 זוויות שסכומן π
cos(π − x) = −cos x
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ד – משוואה ריבועית בקוסינוס · המשך
x = −2π3 + 2π = 4π3
✅ פתרון סופי: x = 0 , 2π3 , 4π3 , 2π
סעיף ה – טנגנס
טנגנס מוגדר רק כאשר x ≠ ±π2 . מעבירים אגף:
tan x = 1
tan π4 = 1
📐 ערך מיוחד
x = π4 + πk
📐 פתרון המשוואה tan x = tan a
עבור k = 0 מקבלים π4 . עבור k = −1 :
x = π4 − π = −3π4
📐 ערך מיוחד
tan π4 = 1
📐 פתרון המשוואה tan x = tan a
x = a + πk
סעיף ה – טנגנס · המשך
x = π4 − π = −3π4
עבור k = 1 מקבלים 5π4 – גדול מ־π. עבור k = −2 מקבלים −7π4 – קטן מ־−π .
✅ פתרון סופי: x = −3π4 , π4
סעיף ו – קוסינוס של זווית כפולה
הביטוי cos2x − sin2x הוא בדיוק הקוסינוס של הזווית הכפולה, ולכן נכתוב אותו כך – כך נשאר קוסינוס אחד בלבד:
cos 2x = 0
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos π2 = 0
📐 ערך מיוחד
הזווית כאן היא 2x , ולכן פותרים בשביל 2x :
2x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
2x = −π2 + 2πk
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ו – קוסינוס של זווית כפולה · המשך
2x = −π2 + 2πk
מחלקים כל איבר ב־2:
x = π4 + πk
x = −π4 + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π : מהמשפחה הראשונה k = 0 נותן π4 . מהשנייה k = 1 נותן:
x = −π4 + π = 3π4
סעיף ו – קוסינוס של זווית כפולה · המשך
x = −π4 + π = 3π4
✅ פתרון סופי: x = π4 , 3π4
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π
סעיף ב
x = 0 , π6 , 5π6 , π , 2π
סעיף ג
x = π6 , π2 , 5π6 , 3π2
סעיף ד
x = 0 , 2π3 , 4π3 , 2π
סעיף ה
x = −3π4 , π4
סעיף ו
x = π4 , 3π4
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא